Задание 5: Прямая, параллельная основаниям трапеции \(ABCD\), пересекает её боковые стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите длину отрезка \(EF\), если \(AD = 45\), \(BC = 15\) и \(CF:DF = 2:3\).

Пусть \(AD\) и \(BC\) - основания трапеции, \(EF\) параллельна основаниям. Дано: \(AD = 45\) \(BC = 15\) \(CF:DF = 2:3\) Найдем \(EF\). Пусть \(CF = 2x\) и \(DF = 3x\), тогда \(CD = CF + DF = 2x + 3x = 5x\). Проведем прямую \(CG\) параллельно \(AB\) до пересечения с \(AD\) в точке \(G\). Тогда \(AG = BC = 15\), а \(GD = AD - AG = 45 - 15 = 30\). Рассмотрим \(\triangle CGD\). Так как \(EF \parallel AD\), то \(KF \parallel GD\), где \(K\) - точка пересечения \(EF\) и \(CG\). По теореме Фалеса: \[\frac{CK}{CG} = \frac{CF}{CD} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}\] Следовательно, \(KF = \frac{2}{5} GD = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12\). Так как \(EKGC\) - параллелограмм (по построению \(CG \parallel AB\) и по условию \(EF \parallel BC\)), то \(EK = BC = 15\). Тогда \(EF = EK + KF = 15 + 12 = 27\). Ответ: \(EF = 27\).