Задание 5. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 45, BC = 15 и CF : DF = 2 : 3.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Известно, что AD = 45, BC = 15, CF : DF = 2 : 3. Необходимо найти EF. Поскольку EF параллельна AD и BC, то трапеция ABCD разделяется на две меньшие трапеции: AEFD и EBCF. Пусть CF = 2x, тогда DF = 3x. Следовательно, CD = CF + DF = 2x + 3x = 5x. Проведем через точку C прямую, параллельную AB, до пересечения с AD в точке K. Тогда AK = BC = 15, и KD = AD - AK = 45 - 15 = 30. Рассмотрим треугольник CKD. Отрезок CF : FD = 2 : 3. Проведем через точку F прямую, параллельную KD, до пересечения с CK в точке L. Тогда CL : LK = CF : FD = 2 : 3. Значит, CL = (2/5) * CK и LK = (3/5) * CK. Поскольку FL параллельна KD, то FL = (2/5) * KD = (2/5) * 30 = 12. Теперь рассмотрим отрезок EF. EF = BC + FL = 15 + 12 = 27. Ответ: EF = 27