Задание 3: Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. От А к В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка. Прибыв к пристани В, лодка тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани А. К этому времени плот проплыл 110 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть $v$ - скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки по течению равна $v + 5$, а против течения $v - 5$. Плот двигался $t$ часов со скоростью течения реки (5 км/ч) и проплыл 110 км. Значит, $t = \frac{110}{5} = 22$ часа. Лодка была в пути $t-1 = 22 - 1 = 21$ час. Пусть $t_1$ - время, которое лодка плыла по течению, а $t_2$ - время против течения. Тогда $t_1 + t_2 = 21$. Расстояние от A до B равно 140 км. Значит, $(v+5)t_1 = 140$ и $(v-5)t_2 = 140$. Выразим $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{140}{v+5}$ и $t_2 = \frac{140}{v-5}$. Подставим в уравнение $t_1 + t_2 = 21$: $\frac{140}{v+5} + \frac{140}{v-5} = 21$ $140(v-5) + 140(v+5) = 21(v^2 - 25)$ $140v - 700 + 140v + 700 = 21v^2 - 525$ $280v = 21v^2 - 525$ $21v^2 - 280v - 525 = 0$ Разделим на 7: $3v^2 - 40v - 75 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-40)^2 - 4(3)(-75) = 1600 + 900 = 2500$ $v_1 = \frac{40 + \sqrt{2500}}{2(3)} = \frac{40 + 50}{6} = \frac{90}{6} = 15$ $v_2 = \frac{40 - 50}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной). Итак, скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч. Ответ: 15 км/ч