ЗАДАНИЕ 21. Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пошаговое решение:

1. Найдем время, которое плот был в пути:

   Плот проплыл 51 км со скоростью течения реки 3 км/ч. Время в пути: \( t = \frac{S}{V} = \frac{51}{3} = 17 \) часов.

2. Лодка вышла на 1 час позже плота, значит, лодка была в пути \( 17 - 1 = 16 \) часов.
3. Пусть \( x \) – скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки по течению равна \( x + 3 \), а против течения — \( x - 3 \).
4. Пусть \( t_1 \) – время, которое лодка плыла по течению, а \( t_2 \) – время, которое лодка плыла против течения. Тогда:
   • Расстояние по течению: \( (x + 3)t_1 = 140 \)
   • Расстояние против течения: \( (x - 3)t_2 = 140 \)
   • Суммарное время в пути: \( t_1 + t_2 = 16 \)
5. Выразим \( t_1 \) и \( t_2 \) через \( x \):
   • \( t_1 = \frac{140}{x + 3} \)
   • \( t_2 = \frac{140}{x - 3} \)
6. Подставим в уравнение времени:

   \( \frac{140}{x + 3} + \frac{140}{x - 3} = 16 \)

7. Решим уравнение:

   \( 140(x - 3) + 140(x + 3) = 16(x + 3)(x - 3) \)

   \( 140x - 420 + 140x + 420 = 16(x^2 - 9) \)

   \( 280x = 16x^2 - 144 \)

   \( 16x^2 - 280x - 144 = 0 \)

   \( 2x^2 - 35x - 18 = 0 \)

8. Решим квадратное уравнение:

   Дискриминант: \( D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2 \)

   Корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm 37}{4} \)

   • \( x_1 = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18 \)
   • \( x_2 = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ: 18 км/ч