Задание 4. Решить уравнения (2 балла): √6+x-x2=1-x √x² + 2+ √x3 + x2=0 16-17*4*+16=0 5-8

Решим уравнения:

1) $$\sqrt{6+x-x^2} = 1-x$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{6+x-x^2})^2 = (1-x)^2$$ $$6+x-x^2 = 1 - 2x + x^2$$ $$2x^2 - 3x - 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$ $$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$$ $$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Проверим корни:

$$\sqrt{6 + 2,5 - 2,5^2} = 1 - 2,5$$e -1,5$$Корень $$x_1 = 2,5$$ не подходит.

$$\sqrt{6 + (-1) - (-1)^2} = 1 - (-1)$$ $$\sqrt{6 - 1 - 1} = 1 + 1$$ $$\sqrt{4} = 2$$ $$2 = 2$$

Корень $$x_2 = -1$$ подходит.

Ответ: x = -1

---

2) $$\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{x^3 + x^2} = 0$$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Тогда:

$$x^2 + 2 \ge 0$$ $$x^2 + x^3 \ge 0$$Сумма двух корней равна нулю, когда каждый из корней равен нулю:

$$\sqrt{x^2 + 2} = 0$$Возведем в квадрат:

$$x^2 + 2 = 0$$Решим первое уравнение:

$$x^2 = -2$$Уравнение не имеет решений, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: нет решений

---

3) $$16 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$$

$$16 \cdot 2 - 17 \cdot 4^x = 0$$Прологарифмируем обе части уравнения:

$$log_4(4^x) = log_4(\frac{32}{17})$$ $$x = log_4(\frac{32}{17})$$

Ответ: $$x = log_4(\frac{32}{17})$$

---

4) $$5^x = 8$$

Прологарифмируем обе части уравнения:

$$log_5(5^x) = log_5(8)$$ $$x = log_5(8)$$

Ответ: $$x = log_5(8)$$