Задание 5. Решите систему уравнений методом введения новых переменных. В ответе укажите только целые значения. 3(x + y) + 2(x - y) = 1 {(x + y)² - (x - y) = 4

Пусть $$a = x + y$$ и $$b = x - y$$. Тогда система уравнений примет вид:

{3a + 2b = 1

{a² - b = 4

Выразим b из первого уравнения:

$$2b = 1 - 3a$$

$$b = \frac{1 - 3a}{2}$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$a^2 - \frac{1 - 3a}{2} = 4$$

$$2a^2 - (1 - 3a) = 8$$

$$2a^2 + 3a - 9 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 2 \times (-9) = 9 + 72 = 81$$

Корни уравнения:

$$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{4} = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$

$$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{4} = \frac{-3 - 9}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$

Найдем соответствующие значения b:

$$b_1 = \frac{1 - 3a_1}{2} = \frac{1 - 3(1.5)}{2} = \frac{1 - 4.5}{2} = \frac{-3.5}{2} = -1.75$$

$$b_2 = \frac{1 - 3a_2}{2} = \frac{1 - 3(-3)}{2} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Выразим x и y через a и b:

$$x = \frac{a + b}{2}$$

$$y = \frac{a - b}{2}$$

Для $$a_1 = 1.5$$ и $$b_1 = -1.75$$:

$$x_1 = \frac{1.5 - 1.75}{2} = \frac{-0.25}{2} = -0.125$$

$$y_1 = \frac{1.5 + 1.75}{2} = \frac{3.25}{2} = 1.625$$

Для $$a_2 = -3$$ и $$b_2 = 5$$:

$$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Так как в ответе нужно указать только целые значения, то решением является $$(1; -4)$$.

Ответ: (1; -4)