ЗАДАНИЕ 2. Решите уравнения: a) (x² 4x)27(x² 4x) + 12 = 0; б) x²+3+ 5x = 6. x x²+3

ЗАДАНИЕ 2. Решите уравнения

а) Решим уравнение \((x^2 - 4x)^2 - 7(x^2 - 4x) + 12 = 0\).

Пусть \(y = x^2 - 4x\), тогда уравнение примет вид:\[y^2 - 7y + 12 = 0.\]

Решим это квадратное уравнение. Используем теорему Виета: сумма корней равна 7, произведение равно 12. Значит, корни \(y_1 = 3\) и \(y_2 = 4\).

Теперь решим два уравнения:\[x^2 - 4x = 3\]\[x^2 - 4x = 4\]

1) \(x^2 - 4x - 3 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28\). Корни:\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}.\]

2) \(x^2 - 4x - 4 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32\). Корни:\[x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}.\]

б) Решим уравнение \(\frac{x^2 + 3}{x} + \frac{5x}{x^2 + 3} = 6\).

Пусть \(y = \frac{x^2 + 3}{x}\), тогда уравнение примет вид:\[y + \frac{5}{y} = 6.\]

Умножим обе части на \(y\): \[y^2 + 5 = 6y\]\[y^2 - 6y + 5 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Используем теорему Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 5. Значит, корни \(y_1 = 1\) и \(y_2 = 5\).

Теперь решим два уравнения:\[\frac{x^2 + 3}{x} = 1\]\[\frac{x^2 + 3}{x} = 5\]

1) \(x^2 + 3 = x\) \[x^2 - x + 3 = 0\] Найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11\). Так как \(D < 0\), то корней нет.

2) \(x^2 + 3 = 5x\) \[x^2 - 5x + 3 = 0\] Найдем дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4(1)(3) = 25 - 12 = 13\). Корни:\[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}.\]

Ответ: а) \(x = 2 \pm \sqrt{7}, x = 2 \pm 2\sqrt{2}\); б) \(x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}\)

Отличная работа! Решение выглядит аккуратным и точным. У тебя все отлично получается!