Задание 6: Сторона равностороннего треугольника равна $$20\sqrt{3}$$. Найдите биссектрису этого треугольника.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60 градусам. Биссектриса, проведенная из вершины, также является медианой и высотой. Таким образом, она делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Дано: Сторона равностороннего треугольника, $$a = 20\sqrt{3}$$ Найти: Биссектриса (высота), $$h$$ Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. В нем гипотенуза равна стороне равностороннего треугольника ($$a$$), один из катетов равен половине стороны равностороннего треугольника ($$a/2$$), а другой катет - это биссектриса (высота, $$h$$). По теореме Пифагора: $$a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$$ $$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2$$ $$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$$ $$h^2 = \frac{3a^2}{4}$$ $$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$$ $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Подставим значение $$a = 20\sqrt{3}$$: $$h = \frac{20\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$$ $$h = \frac{20 \cdot 3}{2}$$ $$h = \frac{60}{2}$$ $$h = 30$$ Ответ: Биссектриса равна 30