Задание 3. Тренинг Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 9 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Обозначим углы как a, b, c, где a - наименьший, c - наибольший, b - средний. По условию, c = 9a. Также, a + b + c = 360 градусов. Подставим c = 9a в уравнение:

$$a + b + 9a = 360$$

$$10a + b = 360$$

$$b = 360 - 10a$$

Так как все углы должны быть положительными и целыми числами, то a > 0 и b > 0. Следовательно:

$$360 - 10a > 0$$

$$10a < 360$$

$$a < 36$$

Также, по условию a - наименьший угол, поэтому a <= b. Подставим выражение для b:

$$a \le 360 - 10a$$

$$11a \le 360$$

$$a \le \frac{360}{11} \approx 32.7$$

Значит, a может принимать значения от 1 до 32 включительно. Нужно проверить, при каких значениях a угол b = 360 - 10a будет больше или равен a и при этом b будет меньше c = 9a. Также необходимо, чтобы углы были различными.

Если a = 32, то b = 360 - 10 * 32 = 360 - 320 = 40, c = 9 * 32 = 288. В этом случае a < b < c.

Если a = 1, то b = 360 - 10 = 350, c = 9. Это невозможно, так как c должен быть наибольшим.

Для каждого значения a от 1 до 32 нужно проверить условие a <= b = 360 - 10a <= 9a, то есть a <= 360 - 10a и 360 - 10a <= 9a.

a <= 360 - 10a выполняется при a <= 360/11 = 32.7, что верно.

360 - 10a <= 9a выполняется при 360 <= 19a, то есть a >= 360/19 = 18.94. То есть a >= 19.

Значит, a может принимать значения от 19 до 32 включительно. Это 32 - 19 + 1 = 14 значений.

Теперь нужно проверить, что при разных a значения b различны. Так как b = 360 - 10a, то разным a соответствуют разные b.

Ответ: 14