Задание 3. Тренинг. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, медиана BM равна 3. Площадь треугольника ABC равна $$12\sqrt{7}$$. Найдите длину стороны AB.

Задача 3. Пусть $$AB = BC = x$$. Так как $$BM$$ - медиана, то $$AM = MC$$. Пусть $$AM = MC = y$$. Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить через основание $$AC$$ и высоту $$BH$$, где $$H$$ - основание высоты, опущенной из вершины $$B$$ на сторону $$AC$$. Также можно выразить площадь через две стороны и синус угла между ними. Но в данном случае нам удобнее использовать медиану и площадь. Пусть $$S$$ - площадь треугольника $$ABC$$, тогда $$S = 12\sqrt{7}$$. Известна формула площади треугольника через медиану: $$S = \frac{4}{3} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника со сторонами, равными сторонам, построенными на медианах. В данном случае, медиана $$BM = 3$$. Площадь треугольника $$ABC = 12\sqrt{7}$$. Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $$S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot sin(\angle B)$$. Так как $$AB=BC=x$$, то $$S = \frac{1}{2}x^2 sin(\angle B)$$. $$12\sqrt{7} = \frac{1}{2}x^2 sin(\angle B)$$ Используем теорему косинусов для треугольника $$ABM$$: $$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot cos(\angle ABM)$$ $$y^2 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot cos(\angle ABM)$$ Аналогично для треугольника $$CBM$$: $$CM^2 = BC^2 + BM^2 - 2 \cdot BC \cdot BM \cdot cos(\angle CBM)$$ $$y^2 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot cos(\angle CBM)$$ Так как $$AB = BC$$, то $$\angle ABM = \angle CBM$$, то есть $$BM$$ - биссектриса угла $$B$$. Пусть $$\angle ABM = \angle CBM = \frac{\angle B}{2}$$. $$S = 12\sqrt{7} = \frac{1}{2}x^2 sin(\angle B) = x^2 sin(\frac{\angle B}{2}) cos(\frac{\angle B}{2})$$ Воспользуемся свойством медианы, делящей треугольник на два равновеликих (по площади). Площадь $$ABM$$ = Площадь $$CBM$$ = $$\frac{1}{2}S = 6\sqrt{7}$$. Воспользуемся формулой площади: $$S_{ABM} = \frac{1}{2} AB \cdot BM \cdot sin(\angle ABM)$$. $$6\sqrt{7} = \frac{1}{2} x \cdot 3 \cdot sin(\frac{\angle B}{2})$$ $$12\sqrt{7} = 3x \cdot sin(\frac{\angle B}{2})$$ $$sin(\frac{\angle B}{2}) = \frac{4\sqrt{7}}{x}$$ Подставляем в формулу $$12\sqrt{7} = x^2 sin(\frac{\angle B}{2}) cos(\frac{\angle B}{2})$$: $$12\sqrt{7} = x^2 \cdot \frac{4\sqrt{7}}{x} \cdot cos(\frac{\angle B}{2})$$ $$3 = x \cdot cos(\frac{\angle B}{2})$$ $$cos(\frac{\angle B}{2}) = \frac{3}{x}$$ Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$$ $$(\frac{4\sqrt{7}}{x})^2 + (\frac{3}{x})^2 = 1$$ $$\frac{16 \cdot 7}{x^2} + \frac{9}{x^2} = 1$$ $$\frac{112 + 9}{x^2} = 1$$ $$x^2 = 121$$ $$x = 11$$ (т.к. длина стороны не может быть отрицательной). Ответ: 11