Задание 3: Треугольник FRT задан координатами своих вершин: \(F(2; -2)\), \(R(2; 3)\), \(T(-2; 1)\). а) Докажите, что треугольник FRT – равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины F.

Решение:

а) Доказательство, что треугольник FRT – равнобедренный.

1. Найдем длины сторон FR, FT и RT.
* Длина стороны FR:
\[
FR = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5
\]
* Длина стороны FT:
\[
FT = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
* Длина стороны RT:
\[
RT = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}
\]

2. Так как FR = FT = 5, то треугольник FRT – равнобедренный (FR = FT).

б) Найдем высоту, проведенную из вершины F.

1. Так как треугольник FRT равнобедренный, высота из вершины F является медианой и биссектрисой, то есть делит сторону RT пополам. Найдем координаты точки M - середины RT.
\[
M(\frac{2 + (-2)}{2}; \frac{3 + 1}{2}) = M(0; 2)
\]

2. Найдем длину высоты FM:
\[
FM = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

Ответ:
* а) Треугольник FRT – равнобедренный, так как FR = FT = 5.
* б) Высота, проведенная из вершины F, равна \(2\sqrt{5}\).