Задание 3 (Уровень В) В треугольнике АВС внешний угол при вершине А равен 130°. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д. Известно, что ∠BDC = 85°. Найдите углы треугольника АВС

Ответ: ∠A = 50°, ∠B = 50°, ∠C = 80°

Сумма внешнего и смежного внутреннего углов при вершине равна 180°. Следовательно, внутренний угол ∠BAC равен: ∠BAC = 180° - 130° = 50°

Рассмотрим треугольник BDC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно: ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠BCD ∠DBC = 180° - 85° - ∠BCD = 95° - ∠BCD

Так как BD - биссектриса угла B, то ∠ABC = 2 * ∠DBC. Сумма углов треугольника ABC равна 180°: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° 50° + 2 * (95° - ∠BCD) + ∠BCD = 180° 50° + 190° - 2 * ∠BCD + ∠BCD = 180° 240° - ∠BCD = 180° ∠BCD = 60°

∠ABC = 2 * (95° - 60°) = 2 * 35° = 70°

Найдем углы треугольника ABC:

• ∠BAC = 50°
• ∠ABC = 70°
• ∠BCA = 60°

Ответ: ∠A = 50°, ∠B = 70°, ∠C = 60°