Задание 11. В футбольном турнире участвуют 30 команд. Главный судья подводит промежуточные результаты и сообщает, что девять команд уже сыграли с тремя командами, десять команд с пятью и одиннадцать команд с четырьмя. Прав ли судья? Ответ обоснуйте.

Проверим, прав ли судья. Представим турнир как граф, где вершины - команды, а рёбра - сыгранные матчи.

• 9 команд сыграли с 3 командами: 9 * 3 = 27
• 10 команд сыграли с 5 командами: 10 * 5 = 50
• 11 команд сыграли с 4 командами: 11 * 4 = 44
• Сумма степеней всех вершин: 27 + 50 + 44 = 121

Так как сумма степеней всех вершин графа должна быть чётной (удвоенное число рёбер), а у нас получилось 121, то судья не прав.