Задание 7. В многоквартирном доме 126 квартир. Известно, что во всех подъездах дома одинаковое число этажей и на любом этаже каждого подъезда одинаковое число квартир (больше одной). Сколько этажей в этом доме, если число квартир на каждом этаже в подъезде в 2 раза меньше числа этажей в доме?

Решение: Пусть x - число этажей в доме, y - число квартир на каждом этаже в подъезде, z - число подъездов. Тогда общее число квартир в доме: $$x * y * z = 126$$. Из условия известно, что число квартир на каждом этаже в подъезде в 2 раза меньше числа этажей в доме, то есть $$y = \frac{x}{2}$$. Подставим это в первое уравнение: $$x * \frac{x}{2} * z = 126$$. Упростим: $$x^2 * z = 252$$. Нужно найти такое число x (количество этажей), которое является делителем 252, и при этом число квартир на этаже (y = x/2) должно быть целым числом больше 1. Разложим 252 на простые множители: $$252 = 2^2 * 3^2 * 7$$. Перебираем возможные значения для x (этажи): * Если $$x = 2$$, то $$y = 1$$, что не удовлетворяет условию (квартир больше одной). * Если $$x = 3$$, то $$y = 1.5$$, что не является целым числом. * Если $$x = 4$$, то $$y = 2$$. Тогда $$4^2 * z = 252$$, $$16 * z = 252$$, $$z = \frac{252}{16} = 15.75$$, что не является целым числом. * Если $$x = 6$$, то $$y = 3$$. Тогда $$6^2 * z = 252$$, $$36 * z = 252$$, $$z = \frac{252}{36} = 7$$. Это подходит. * Если $$x = 7$$, то $$y = 3.5$$, что не является целым числом. * Если $$x = 9$$, то $$y = 4.5$$, что не является целым числом. * Если $$x = 12$$, то $$y = 6$$. Тогда $$12^2 * z = 252$$, $$144 * z = 252$$, $$z = \frac{252}{144} = 1.75$$, что не является целым числом. * Если $$x = 14$$, то $$y = 7$$. Тогда $$14^2 * z = 252$$, $$196 * z = 252$$, $$z = \frac{252}{196} = \frac{9}{7}$$, что не является целым числом. * Если $$x = 18$$, то $$y = 9$$. Тогда $$18^2 * z = 252$$, $$324 * z = 252$$, $$z = \frac{252}{324} = \frac{7}{9}$$, что не является целым числом. Подходящее решение: $$x = 6$$, $$y = 3$$, $$z = 7$$. Ответ: 6 этажей.