Задание 4: В прямоугольном треугольнике ESF угол Ѕ прямой, SF = 6, EF = 12. Биссектрисы углов ESF и EFS пересекаются в точке Z. Найдите величину угла SZF. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике ESF: ∠S = 90°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠E + ∠F = 90°. ∠E + ∠F = 180° - ∠S = 180° - 90° = 90°. SZ и ZЕ - биссектрисы углов ESF и EFS, следовательно: ∠ZSE = ∠ESF / 2 = 90° / 2 = 45° и ∠ZES = ∠FES / 2. В треугольнике ZES: ∠ZES + ∠ZSE + ∠SZE = 180°. ∠SZE = 180° - ∠ZES - ∠ZSE = 180° - (∠FES / 2) - 45° В треугольнике ZSF: ∠ZSF + ∠ZFS + ∠SFZ = 180°. ∠SZF = 180° - ∠ZFS - ∠ZSF = 180° - (∠EFS / 2) - 45° В треугольнике ZSF: ∠ZSF = 45°. ∠EFZ = ∠EFS/2. Мы знаем, что в треугольнике ESF, ∠E + ∠F = 90°. В треугольнике ZEF: ∠ZEF + ∠EFZ = (∠E)/2 + (∠F)/2 = (∠E + ∠F)/2 = 90°/2 = 45°. ∠EZF = 180° - 45° = 135°. ∠EZF + ∠SZF = 180° (смежные углы) => ∠SZF = 180° - 135° = 45°. В треугольнике ZFS: ∠ZFS = ∠EFS / 2 ∠ZSF = ∠ESF / 2 = 45°. Сумма углов треугольника равна 180°: ∠ZFS + ∠ZSF + ∠FZS = 180° (∠EFS / 2) + 45° + ∠FZS = 180° ∠FZS = 180° - 45° - (∠EFS / 2) = 135° - (∠EFS / 2) Так как ∠E + ∠F = 90°, то ∠EFS < 90°, следовательно ∠EFS / 2 < 45°. 135° - ∠EFS/2 > 135° - 45° = 90°. Получается, что ∠FZS > 90°, что невозможно. Другой подход: Рассмотрим треугольник ESF. Известно, что SF = 6 и EF = 12. Следовательно, ES = $$\sqrt{EF^2 - SF^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$. Тогда tg E = SF/ES = $$6/6\sqrt{3}$$ = $$1/\sqrt{3}$$. Значит, ∠E = 30°. И ∠F = 60°. Поскольку SZ и EZ - биссектрисы, то ∠ZSE = 45° и ∠ZES = 15°. В треугольнике ZES: ∠ZES + ∠ZSE + ∠EZS = 180°. ∠EZS = 180° - 45° - 15° = 120°. ∠EZS + ∠SZV = 180° (смежные углы) => ∠SZV = 180° - 120° = 60°. Аналогично для треугольника ZFS: ∠ZFS = 30°. Тогда ∠SZF = 180° - 45° - 30° = 105°. Известно, что ∠ESF = 90° и SZ - биссектриса, поэтому ∠ZSF = 45°. Значит ∠SZF = 180° - 45° - 30° = 105°. **Ответ: 45**