Задание 10: В равнобедренном треугольнике ABC высота BM, проведённая к основанию, равна 13, а tg ∠A = 0,5. Найдите площадь треугольника ABC.

Для решения этой задачи нам понадобится знание о свойствах равнобедренного треугольника и определение тангенса угла. 1. **Равнобедренный треугольник:** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∠A = ∠C. 2. **Тангенс угла:** Тангенс угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему. В данном случае, в прямоугольном треугольнике ABM: $$tg∠A = \frac{BM}{AM}$$ Мы знаем, что tg∠A = 0,5 и BM = 13. Подставим значения в формулу: $$0,5 = \frac{13}{AM}$$ Теперь найдем AM: $$AM = \frac{13}{0,5} = 26$$ 3. **Основание AC:** Так как BM – высота в равнобедренном треугольнике, она также является медианой. Следовательно, AM = MC. Значит, AC = 2 * AM: $$AC = 2 * 26 = 52$$ 4. **Площадь треугольника:** Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} * основание * высота$$. В нашем случае: $$S = \frac{1}{2} * AC * BM = \frac{1}{2} * 52 * 13 = 26 * 13 = 338$$ **Ответ: Площадь треугольника ABC равна 338.**