Задание 11: В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 4, sin ∠A = 0,75. Найдите длину отрезка BH.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания тригонометрии и свойств прямоугольных треугольников. 1. **Синус угла:** Синус угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В треугольнике ABC: $$sin∠A = \frac{BC}{AB}$$ Мы знаем, что sin∠A = 0,75 и BC = 4. Подставим значения в формулу: $$0,75 = \frac{4}{AB}$$ Найдем AB: $$AB = \frac{4}{0,75} = \frac{4}{\frac{3}{4}} = \frac{4 * 4}{3} = \frac{16}{3}$$ 2. **Треугольник BCH:** Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. В этом треугольнике угол ∠H равен 90°. Угол ∠B является общим для треугольников ABC и BCH. Мы можем найти cos∠B в треугольнике ABC: $$cos∠B = \sqrt{1 - sin^2∠B}$$. Поскольку $$sin∠A = \frac{3}{4}$$, то $$cos∠A = \sqrt{1-(\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$. Так как ∠A + ∠B = 90° (в прямоугольном треугольнике ABC), то $$sin∠A = cos∠B$$ и $$cos∠A = sin∠B$$. Следовательно, $$cos∠B = \frac{4}{AB} = \frac{4}{\frac{16}{3}} = \frac{4*3}{16} = \frac{3}{4}$$ 3. Теперь найдем BH в треугольнике BCH: $$BH = BC * cos∠B = 4 * \frac{3}{4} = 3$$ **Ответ: Длина отрезка BH равна 3.**