ЗАДАНИЕ №8. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, O - точка пересечения диагоналей, BD = 18√2, OC = 8√2, ∠AOD = 90°. Найдите AD.

1. Рассмотрим треугольники BOC и AOD: Т.к. AD и BC - основания трапеции, то они параллельны. Следовательно, углы BOC и AOD вертикальные, и углы OAD и OCB накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Значит, треугольники BOC и AOD подобны. 2. Найдем коэффициент подобия k: $$k = \frac{OC}{OA}$$ Мы знаем, что OC = 8√2, но не знаем OA. 3. Т.к. угол AOD = 90°, то треугольник AOD прямоугольный. В прямоугольном треугольнике AOD имеем: $$AD^2 = OA^2 + OD^2$$ Также рассмотрим прямоугольный треугольник BOC: $$BC^2 = OB^2 + OC^2$$ 4. Заметим, что диагонали в равнобедренной трапеции равны, то есть BD = AC = 18√2. Тогда $$AC = AO + OC = 18\sqrt{2}$$ $$AO = AC - OC = 18\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$ 5. Найдем коэффициент подобия k: $$k = \frac{OC}{OA} = \frac{8\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = \frac{4}{5}$$ 6. Найдем OD и OB: $$OD = k * OB$$, и $$BD = OB + OD = 18\sqrt{2}$$ $$OB + k*OB = 18\sqrt{2}$$ $$OB(1 + k) = 18\sqrt{2}$$ $$OB(1 + \frac{4}{5}) = 18\sqrt{2}$$ $$OB(\frac{9}{5}) = 18\sqrt{2}$$ $$OB = 18\sqrt{2} * \frac{5}{9} = 2\sqrt{2} * 5 = 10\sqrt{2}$$ $$OD = BD - OB = 18\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$ 7. Теперь можем найти AD, используя теорему Пифагора для треугольника AOD: $$AD^2 = AO^2 + OD^2 = (10\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2 = 100*2 + 64*2 = 200 + 128 = 328$$ $$AD = \sqrt{328} = \sqrt{4 * 82} = 2\sqrt{82}$$ Ответ: AD = 2√82