Задание 12. В ромбе ABCD диагональ AC = 30, сторона AB = $$3\sqrt{26}$$. Найдите тангенс угла BAC.

Решение: 1. В ромбе все стороны равны, значит, $$AB = BC = CD = DA = 3\sqrt{26}$$. 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, $$AC$$ - биссектриса угла $$BAD$$. Поэтому угол $$BAC$$ равен половине угла $$BAD$$. 3. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он равнобедренный, так как $$AB=BC$$. Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда $$AO$$ является высотой и медианой в треугольнике $$ABC$$. 4. Значит, $$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$$. 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABO$$. В нем известны гипотенуза $$AB = 3\sqrt{26}$$ и катет $$AO = 15$$. Найдем катет $$BO$$ по теореме Пифагора: $$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(3\sqrt{26})^2 - 15^2} = \sqrt{9 \cdot 26 - 225} = \sqrt{234 - 225} = \sqrt{9} = 3$$ 6. Теперь найдем тангенс угла $$BAO$$, который равен углу $$BAC$$: $$tg \angle BAC = tg \angle BAO = \frac{BO}{AO} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2$$ Ответ: 0.2