Задание 13. В угол с вершиной C, равный 55°, вписана окружность с центром О, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. Обозначим угол с вершиной $$C$$ как $$\angle C$$. По условию $$\angle C = 55^\circ$$. 2. Точки $$A$$ и $$B$$ - точки касания окружности со сторонами угла. Значит, $$OA \perp CA$$ и $$OB \perp CB$$. 3. Рассмотрим четырехугольник $$CAOB$$. Сумма углов четырехугольника равна $$360^\circ$$. Значит: $$\angle CAO + \angle AOB + \angle OBO + \angle C = 360^\circ$$ 4. Подставим известные значения: $$90^\circ + \angle AOB + 90^\circ + 55^\circ = 360^\circ$$ 5. Найдем угол $$AOB$$: $$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 360^\circ - 235^\circ = 125^\circ$$ Ответ: 125