Задание 2: В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 15 и BC = 10.

Пусть дана трапеция ABCD, где AB перпендикулярна BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Необходимо найти расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 15 и BC = 10. 1. Определение типа трапеции: Так как окружность проходит через C и D, а также касается AB в точке E, трапеция ABCD – равнобедренная (AD = BC). Но по условию AD = 15 и BC = 10, что противоречит равнобедренности. Значит, условие AD = BC не выполняется, и трапеция не является равнобедренной. 2. Свойство касательной и секущей: По свойству касательной и секущей, если из точки E проведена касательная к окружности (в точке E) и секущая, проходящая через точки C и D, то (EC^2 = EA cdot EB). 3. Дополнительные построения: Проведем высоту EF из точки E к прямой CD. Требуется найти длину EF. 4. Использование теоремы Пифагора и свойств трапеции: - Пусть M и N - проекции точек B и C на AD соответственно. Тогда (AM = (AD - BC)/2 = (15 - 10)/2 = 2.5). - Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. (AB^2 + BM^2 = AM^2), где BM = EF (расстояние от E до CD). - Так как ABCD - трапеция, BC || AD, значит, высота BM = AB. - (AB = sqrt{AD^2 - (AD - BC)^2} = sqrt{15^2 - 5^2} = sqrt{225 - 25} = sqrt{200} = 10\sqrt{2}). 5. Нахождение EF: - Пусть О - центр окружности, тогда О лежит на середине CD. - Радиус окружности R можно выразить через свойства касательной и секущей. - Так как EC и ED - хорды, а E - точка касания, то (EC^2 = EA cdot EB). - Из свойств трапеции, высота EF равна полусумме оснований: (EF = (AD + BC)/2). - (EF = (15 + 10)/2 = 25/2 = 12.5). Ответ: 12.5