Задание 2. В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Для решения этой задачи, давайте разберемся с углами и свойствами треугольников. 1. Так как MK - биссектриса угла \(\angle AMB\), обозначим \(\angle AMK = \angle KMB = x\). 2. Так как MP - высота треугольника CBM, то \(\angle CMP = 90^\circ\). 3. Из условия \(\angle KMP = 90^\circ\) следует, что \(\angle KMP = \angle KMB + \angle BMP = 90^\circ\). Значит, \(x + \angle BMP = 90^\circ\). 4. В треугольнике BMP, \(\angle BMP + \angle MBP + \angle BPM = 180^\circ\). Так как MP - высота, то \(\angle BPM = 90^\circ\). Тогда, \(\angle BMP + \angle MBP = 90^\circ\). 5. Сравнивая уравнения из пунктов 3 и 4, видим, что \(x = \angle MBP\), то есть \(\angle KMB = \angle MBP\). 6. Это означает, что BM - биссектриса угла \(\angle ABC\) (так как MK - биссектриса угла ABM). 7. Рассмотрим треугольник CMB. MP является высотой и биссектрисой. Следовательно, треугольник CMB - равнобедренный, и CM = BM. 8. Так как CM = 12, то BM = 12. **Ответ:** BM = 12