ЗАДАНИЕ №7: В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) и \(\angle B = 72^\circ\). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника (как показано на рисунке), выходящие из вершин этих углов.

Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). В треугольнике \(ABC\) угол \(B = 72^\circ\), значит угол \(C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - A - 72^\circ\). Пусть высоты, опущенные из вершин \(A\) и \(B\), пересекаются в точке \(O\). Рассмотрим четырехугольник, образованный вершинами \(A\), \(B\) и основаниями высот из этих вершин. Обозначим основания высот из \(A\) и \(B\) как \(A'\) и \(B'\) соответственно. Тогда в четырехугольнике \(A'OB'C\) углы \(A'\) и \(B'\) равны \(90^\circ\). Сумма углов в четырехугольнике равна \(360^\circ\), поэтому \(\angle A'OB' + \angle A'CB' + \angle B'A'O + \angle OA'C = 360^\circ\). Тогда \(\angle A'OB' = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle C = 180^\circ - \angle C\). \(\angle AOB = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - (180^\circ - A - 72^\circ) = A + 72^\circ\). Тупой угол между высотами равен углу \(AOB\) или смежному с ним углу, то есть \(180^\circ - (A + 72^\circ)\). Т.к. угол должен быть тупым, рассмотрим \(180^\circ - (A + 72^\circ)\). Если угол \(A=40\), то \(180^\circ - (40^\circ + 72^\circ)= 180 - 112= 68^\circ\). Значит, искомый угол = \(180-68 = 112^\circ\). Т.к. по условию нужно найти только величину угла и нет данных об угле \(A\) в задании, то нельзя точно определить значение тупого угла, образованного высотами треугольника. Однако, можно выразить этот угол через угол \(A\). Тупой угол = \(180 - (180 - A - 72) = A+72\). Если \(A + 72 < 90\), то смежный = \(180 - (A+72)\). В прямоугольном треугольнике острый угол = 90 - 72 = 18. Таким образом, если \(0 < A < 18\), тупой угол = \(180-(A+72)\). Иначе \(A+72\).