Задание №1. Вариант 1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: (y = 2x^3 + 3x^2 - 4)

Чтобы исследовать функцию и построить ее график, нужно найти производную, определить критические точки, интервалы возрастания и убывания, точки экстремума, а также исследовать поведение функции на бесконечности и найти точки пересечения с осями координат. 1. Находим производную функции: \[y' = (2x^3 + 3x^2 - 4)' = 6x^2 + 6x\] 2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: \[6x^2 + 6x = 0\]\[6x(x + 1) = 0\] Отсюда, критические точки: (x = 0) и (x = -1). 3. Определяем интервалы возрастания и убывания функции: - Интервал ((-infty, -1)): возьмем (x = -2), (y'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 > 0). Функция возрастает. - Интервал ((-1, 0)): возьмем (x = -0.5), (y'(-0.5) = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0). Функция убывает. - Интервал ((0, +infty)): возьмем (x = 1), (y'(1) = 6(1)^2 + 6(1) = 6 + 6 = 12 > 0). Функция возрастает. 4. Определяем точки экстремума: - В точке (x = -1) функция меняет возрастание на убывание, значит, это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке: \[y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 4 = -2 + 3 - 4 = -3\] Точка максимума: ((-1, -3)). - В точке (x = 0) функция меняет убывание на возрастание, значит, это точка минимума. Найдем значение функции в этой точке: \[y(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4\] Точка минимума: ((0, -4)). 5. Находим точки пересечения с осями координат: - С осью (Oy): (x = 0), (y = -4). Точка ((0, -4)). - С осью (Ox): (y = 0), (2x^3 + 3x^2 - 4 = 0). Решение этого уравнения затруднительно найти аналитически, но можно приближенно определить, что есть корень в районе (x approx 0.85). 6. Эскиз графика: - Функция возрастает на интервалах ((-infty, -1)) и ((0, +infty)). - Функция убывает на интервале ((-1, 0)). - Точка максимума: ((-1, -3)). - Точка минимума: ((0, -4)). - Пересечение с осью (Oy): ((0, -4)). - Приблизительное пересечение с осью (Ox): ((0.85, 0)). К сожалению, я не могу построить график, но по полученным данным вы можете сделать эскиз графика. Ответ: Исследование функции проведено. Определены интервалы возрастания и убывания, точки экстремума и пересечения с осями. График строится на основе этих данных.