Задание 6: Вася и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вася думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 1. Вася делает так: $$\frac{6}{2} = \frac{6-3}{2-1} = \frac{3}{1}$$ Маша считает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 2. Маша делает так: $$\frac{8}{4} = \frac{8-4}{4-2} = \frac{4}{2}$$ Вася и Маша (не обязательно по очереди) восемь раз «сократили» дробь $$\frac{2004}{2005}$$ по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1996. Найдите числитель получившейся дроби.

Пусть $$V$$ - количество раз, которое Вася «сокращал» дробь, а $$M$$ - количество раз, которое Маша «сокращала» дробь. Тогда $$V + M = 8$$. После каждого «сокращения» Васи числитель уменьшается на 3, а знаменатель уменьшается на 1. После каждого «сокращения» Маши числитель уменьшается на 4, а знаменатель уменьшается на 2. После 8 «сокращений» знаменатель стал равен 1996. Значит, $$2005 - V - 2M = 1996$$ $$V + 2M = 2005 - 1996 = 9$$ У нас есть два уравнения: 1) $$V + M = 8$$ 2) $$V + 2M = 9$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$M = 9 - 8 = 1$$ Тогда $$V = 8 - M = 8 - 1 = 7$$ Значит, Вася 7 раз «сокращал» дробь, а Маша 1 раз. Изначальный числитель был 2004. После сокращений числитель стал: $$2004 - 7 \cdot 3 - 1 \cdot 4 = 2004 - 21 - 4 = 2004 - 25 = 1979$$ Ответ: 1979