Задание 5: Задумали двузначное число, которое делится на 15. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое дает остаток 2 при делении на 9. Какое число задумали?

Пусть задуманное число равно $$15x$$, где $$x$$ - целое число. Так как число двузначное, то $$10 \le 15x \le 99$$. Следовательно, $$1 \le x \le 6$$. Если к числу $$15x$$ приписать его последнюю цифру (цифру единиц), то получится трехзначное число. Пусть $$15x = 10a + b$$, где $$a$$ - цифра десятков, а $$b$$ - цифра единиц. Тогда трехзначное число будет равно $$100a + 10b + b = 100a + 11b$$. По условию, $$100a + 11b$$ дает остаток 2 при делении на 9. Это значит, что $$100a + 11b = 9k + 2$$ для некоторого целого числа $$k$$. Выражение $$100a + 11b$$ можно переписать как $$(99a + a) + (9b + 2b) = 9(11a + b) + a + 2b$$. Таким образом, $$9(11a + b) + a + 2b = 9k + 2$$. Это означает, что $$a + 2b$$ должно давать остаток 2 при делении на 9. Так как $$15x = 10a + b$$, переберем возможные значения $$x$$ от 1 до 6: Если $$x = 1$$, то $$15x = 15$$, $$a = 1$$, $$b = 5$$. Тогда $$a + 2b = 1 + 2(5) = 11$$. Остаток от деления на 9 равен 2. Таким образом, число 15 удовлетворяет условию задачи. Проверим: если приписать к 15 цифру 5, получится 155. $$155 = 9 \cdot 17 + 2$$. Если $$x = 2$$, то $$15x = 30$$, $$a = 3$$, $$b = 0$$. Тогда $$a + 2b = 3 + 2(0) = 3$$. Остаток от деления на 9 равен 3. Если $$x = 3$$, то $$15x = 45$$, $$a = 4$$, $$b = 5$$. Тогда $$a + 2b = 4 + 2(5) = 14$$. Остаток от деления на 9 равен 5. Если $$x = 4$$, то $$15x = 60$$, $$a = 6$$, $$b = 0$$. Тогда $$a + 2b = 6 + 2(0) = 6$$. Остаток от деления на 9 равен 6. Если $$x = 5$$, то $$15x = 75$$, $$a = 7$$, $$b = 5$$. Тогда $$a + 2b = 7 + 2(5) = 17$$. Остаток от деления на 9 равен 8. Если $$x = 6$$, то $$15x = 90$$, $$a = 9$$, $$b = 0$$. Тогда $$a + 2b = 9 + 2(0) = 9$$. Остаток от деления на 9 равен 0. Таким образом, только число 15 удовлетворяет условию задачи. Ответ: 15