Задание 15. Вика и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вика думает, что при сокращении дроби нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вика делает так: \(\frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2}\). Маша считает, что при сокращении дроби нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Маша делает так: \(\frac{4}{2} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1}\). Вика и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» по своим правилам дробь \(\frac{2015}{2017}\) и получили дробь с числителем 1969. Найдите знаменатель получившейся дроби.

Решение: Пусть Вика сократила дробь \(x\) раз, а Маша \(y\) раз. Тогда \(x + y = 20\). После применения «сокращений» Вики и Маши числитель дроби стал равен 1969. То есть, \[2015 - 3x - 2y = 1969.\] Выразим (y) через (x) из первого уравнения: (y = 20 - x). Подставим это во второе уравнение: \[2015 - 3x - 2(20 - x) = 1969\], \[2015 - 3x - 40 + 2x = 1969\], \[1975 - x = 1969\], \[x = 1975 - 1969\], \[x = 6.\] Тогда (y = 20 - 6 = 14). Теперь найдем, каким стал знаменатель. Исходный знаменатель 2017. Вика отнимала от знаменателя 2 шесть раз, а Маша отнимала 1 четырнадцать раз. Значит, новый знаменатель равен: \[2017 - 2x - y = 2017 - 2 \cdot 6 - 14 = 2017 - 12 - 14 = 2017 - 26 = 1991.\] Ответ: **1991**