Задание 4: Вокруг окружности описан квадрат со стороной 12 см. Найди площадь прямоугольного треугольника с углом 60°, вписанного в данную окружность.

Давай решим эту задачу шаг за шагом.

1. Найдем радиус окружности:

Так как квадрат описан вокруг окружности, сторона квадрата равна диаметру окружности. Сторона квадрата равна 12 см, значит, диаметр окружности равен 12 см.

Радиус окружности (r) равен половине диаметра:

$$r = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$

2. Определим параметры прямоугольного треугольника:

Прямоугольный треугольник вписан в окружность, и один из углов равен 60°. Значит, другой острый угол равен 90° - 60° = 30°.

Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, то есть равна 12 см (2r = 2 * 6 = 12).

3. Найдем катеты треугольника:

В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы.

Катет, лежащий напротив угла 30° (a):

$$a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см}$$

Теперь найдем второй катет (b), используя теорему Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2$$, где c - гипотенуза.

$$6^2 + b^2 = 12^2$$

$$36 + b^2 = 144$$

$$b^2 = 144 - 36 = 108$$

$$b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$

4. Вычислим площадь треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна $$18\sqrt{3}$$ см²