Задание 1. А) В треугольнике две стороны равны 2,5 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. Б) У параллелограмма угол равен 45°, а стороны — 34 см и 14√2 см. Найдите площадь параллелограмма и его большую диагональ.

А) По теореме косинусов для третьей стороны c:

\(c^2=2.5^2+8^2-2\cdot2.5\cdot8\cos120^\circ\).

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем \(c^2=6.25+64+20=90.25\), поэтому \(c=9.5\) см.

Б) Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними:

\(S=34\cdot14\sqrt2\cdot\sin45^\circ=34\cdot14\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=476\) см².

Для диагоналей используем формулы \(d^2=a^2+b^2\pm2ab\cos45^\circ\). Большая диагональ соответствует знаку «плюс»:

\(d^2=34^2+(14\sqrt2)^2+2\cdot34\cdot14\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1156+392+952=2500\), откуда \(d=50\) см.

Ответ: А) 9,5 см; Б) площадь 476 см², большая диагональ 50 см.