Задание 1: Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 м, оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Вычислите длину: а) высоты пирамиды; б) стороны основания пирамиды.

Решение:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Обозначим боковое ребро как l, высоту пирамиды как H, сторону основания как a, и апофему как h_a. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром и его проекцией на основание, которая является половиной диагонали квадрата.

а) Высота пирамиды:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза l), высотой пирамиды (катет H) и половиной диагонали основания (катет). Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30°.
• Тогда, H = l * sin(30°).
• H = 10 м * 0.5 = 5 м.

б) Сторона основания пирамиды:

• Диагональ основания d = l * cos(30°).
• d = 10 м * √3/2 = 5√3 м.
• Сторона квадрата в основании a = d / √2.
• a = (5√3 м) / √2 = 5√6 / 2 м.

Финальный ответ:

а) Высота пирамиды: 5 м.

б) Сторона основания пирамиды: ⅚√6 / 2 м.