Задание 3: Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 16 дм, оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Вычислите длину: а) высоты пирамиды; б) высоты основания пирамиды.

Решение:

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Обозначим боковое ребро как l, высоту пирамиды как H, сторону основания как a, и высоту основания как h_a. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром и его проекцией на основание, которая является 2/3 высоты основания.

а) Высота пирамиды:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза l), высотой пирамиды (катет H) и радиусом описанной окружности основания (R, который равен 2/3 высоты основания, катет). Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30°.
• Тогда, H = l * sin(30°).
• H = 16 дм * 0.5 = 8 дм.

б) Высота основания пирамиды:

• Радиус описанной окружности основания R = l * cos(30°).
• R = 16 дм * √3/2 = 8√3 дм.
• Высота основания (равностороннего треугольника) h_a = 3/2 * R.
• h_a = 3/2 * (8√3 дм) = 12√3 дм.

Финальный ответ:

а) Высота пирамиды: 8 дм.

б) Высота основания пирамиды: 12√3 дм.