Задание 1. Дана доска 4 × 4, в каждой клетке которой изначально стоят нули. За один ход можно выделить клетки доски, образующие прямоугольник 1 × 3 или 3 × 1, и увеличить каждое число в них на 1. После 30 таких ходов смотрят на наибольшее число на доске. Какое наибольшее значение оно может принимать?

За один ход сумма чисел на доске увеличивается на 3. После 30 ходов сумма равна 90, поэтому наибольшее число не меньше \(\lceil 90/16\rceil=6\).

Значение 6 достижимо. Пронумеруем строки и столбцы от 1 до 4. Выполним по одному ходу для каждой из следующих горизонтальных троек: в строках 1 и 3 — столбцы 1–3; в строках 2 и 4 — столбцы 2–4. Это 4 хода. Выполним также по одному ходу для каждой вертикальной тройки: в столбцах 1 и 3 — строки 1–3; в столбцах 2 и 4 — строки 2–4. Ещё 4 хода. В результате во всех 16 клетках будет число 2.

Повторим этот набор из 8 ходов три раза: получим число 6 в каждой клетке за 24 хода. Оставшиеся 6 ходов выполним попарно: для строк 1, 2 и 3 выберем горизонтальную тройку, которая не затрагивает клетки с числом 6. Однако такой ход невозможен, поэтому это построение не даёт требуемого результата.

Следовательно, верхняя оценка 6 сама по себе не доказывает достижимость. Чтобы установить максимум, нужно проверить, какие распределения можно получить указанными ходами; по приведённым данным это не определяется.

Ответ: не установлен; достоверно следует лишь, что максимум не меньше 6.