Задание 4. Решите уравнение в целых числах: x²y − x = x³ − y + 35. Для каждой пары решений (x; y) в ответ запишите модуль |x + y|. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Перенесём слагаемые и сгруппируем выражение:

\(x^2y+y=x^3+x+35\), поэтому \((x^2+1)y=x(x^2+1)+35\).

Так как \(x^2+1\ne 0\), получаем \(y=x+\frac{35}{x^2+1}\). Для целого \(y\) число \(x^2+1\) должно быть положительным делителем 35. Проверяем делители: \(x^2+1=1\) даёт \(x=0\); \(x^2+1=5\) даёт \(x=\pm2\). Значение 7 невозможно, поскольку тогда \(x^2=6\), а значение 35 невозможно, поскольку тогда \(x^2=34\).

Получаем пары решений: при \(x=0\), \(y=35\); при \(x=2\), \(y=9\); при \(x=-2\), \(y=5\). Тогда соответствующие модули равны \(|0+35|=35\), \(|2+9|=11\), \(|-2+5|=3\).

Ответ: 35; 11; 3.