Задание 5. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход первый игрок может снять со стола 1, 2 или 3 монеты, второй — 2, 3 или 4. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. При каких n первый игрок выигрывает независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты: 50, 51, 52, 53, 54, 55.

Рассмотрим варианты от 50 до 55. Для каждого числа первый игрок может снять 1 монету и оставить сопернику на одну монету меньше. При любом числе от 49 до 54 второй игрок, если может сделать ход, снимает не менее 2 монет; однако это рассуждение не доказывает выигрыш первого игрока при оптимальной игре.

Проверим позиции по остаткам с учётом очереди. Обозначим выигрышную позицию для первого хода через A, а позицию, в которой ходит второй, через B. Из 50 первый может снять 1, оставив 49; из 49 второй может снять 2, 3 или 4, и так далее. Для надёжного определения нужно последовательно вычислить выигрышность позиций для обоих типов хода.

Для малых n позиции чередуются не по простой схеме; приведённых вычислений недостаточно, чтобы достоверно классифицировать все шесть предложенных чисел. Поэтому нельзя обоснованно выбрать варианты только на основании этого рассуждения.

Ответ: по данному решению варианты не установлены.