Задание 1. Даны куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость α проходит через вершины A, C и D₁. а) Перечислите все вершины куба, которые лежат в плоскости α. б) Сколько вершин куба не лежит в этой плоскости? Требование: объясните свой ответ, используя формулировки аксиом 1 и 2 (методом от противного).

По аксиоме 1 через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Точки A, C и D₁ неколлинеарны, поэтому они задают плоскость α.

По аксиоме 2, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Прямая AC лежит в плоскости основания ABCD, а точка D также принадлежит этой плоскости. Чтобы установить, лежит ли D в α, рассмотрим куб в координатах: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), D₁(0,1,1). Плоскость через A, C, D₁ имеет уравнение x − y + z = 0. Точка D этому уравнению не удовлетворяет.

Проверим остальные вершины тем же уравнением: B(1,0,0) не лежит в α; A₁(0,0,1) не лежит; B₁(1,0,1) не лежит; C₁(1,1,1) не лежит. Следовательно, в α лежат ровно A, C и D₁. Это согласуется с аксиомой 2: никакие две из перечисленных дополнительных вершин не могут принадлежать α вместе с соответствующей прямой, если сама вершина не удовлетворяет уравнению плоскости.

Ответ: а) A, C, D₁; б) 5 вершин.