Задание 3. В тетраэдре ABC точка M лежит на ребре AD, точка N лежит на ребре BD, а точка K лежит на ребре CD. Плоскость α проходит через точки M, N и K. а) Лежит ли прямая MN в плоскости грани ABC? Обоснуйте ответ с позиции аксиомы 2. б) Докажите, что прямая MN является линией пересечения плоскости α и плоскости грани ABD. (Используйте аксиому 3 и следствие из аксиомы.)

а) Точки M и N лежат на рёбрах AD и BD, поэтому обе принадлежат плоскости грани ABD. По аксиоме 2 прямая MN целиком лежит в плоскости ABD. Она не обязательно лежит в плоскости ABC: в общем случае прямая MN пересекает ABC в точке на AB, но не совпадает с плоскостью ABC.

б) Точки M и N принадлежат плоскости α по условию и плоскости ABD, поскольку лежат на её рёбрах. Значит, две плоскости имеют общие точки M и N. Так как M и N различны, они задают прямую MN. По аксиоме 3 линия пересечения этих двух плоскостей проходит через общие точки; следовательно, это прямая MN.

Ответ: а) нет, MN лежит в плоскости ABD, а не обязательно в ABC; б) α ∩ (ABD) = MN.