Задание 1. Куб 3 × 3 × 3 составлен из единичных кубиков. Из него вынули кубик, не являющийся угловым кубиком большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая четыре новые квадратные грани, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?

До удаления кубика у каждого из 8 угловых кубиков было по 3 наружные окрашиваемые грани, а у остальных кубиков — не более 2.

После удаления неуглового кубика появляются 4 новые окрашенные грани. Удалённый кубик не был угловым, поэтому он не затрагивает угловые кубики большого куба. Каждый угловой кубик по-прежнему имеет ровно 3 окрашенные грани; кубики с ровно 2 окрашенными гранями — это остальные кубики на поверхности, не затронутые удалением.

В исходном кубе ровно 2 наружные грани имеют 12 кубиков: по 4 на каждой из 6 граней, не считая углов. Удалённый неугловой кубик может находиться на ребре или внутри грани: если он находился на ребре, то имел 2 наружные грани и удаление уменьшает число таких кубиков на 1; если внутри грани — число не меняется. Из формулировки нельзя определить его положение.

Следовательно, если вынутый кубик находился внутри грани, ответ — 12; если на ребре, ответ — 11. Чтобы дать единственный ответ, нужно уточнить, являлся ли вынутый кубик реберным или внутренним.