Задание №1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: y = lg x, x ∈ [1; 1000]; y = log_{1/3} x, x ∈ [1/9; 27].

1) Функция \(y=\lg x\), \(x\in[1;1000]\).

Так как основание десятичного логарифма больше 1, функция \(y=\lg x\) возрастает на области определения.

1. Наименьшее значение достигается при \(x=1\): \(y_{\min}=\lg 1=0\).
2. Наибольшее значение достигается при \(x=1000\): \(y_{\max}=\lg 1000=\lg 10^3=3\).

2) Функция \(y=\log_{\frac13}x\), \(x\in[\frac19;27]\).

Так как \(0<\frac13<1\), функция убывает на области определения.

1. Наибольшее значение достигается при \(x=\frac19\): \(y_{\max}=\log_{\frac13}\frac19=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^2=2\).
2. Наименьшее значение достигается при \(x=27\): \(y_{\min}=\log_{\frac13}27=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-3}=-3\).

Ответ: для \(y=\lg x\): \(y_{\min}=0\), \(y_{\max}=3\); для \(y=\log_{\frac13}x\): \(y_{\min}=-3\), \(y_{\max}=2\).