Задание №1. Найдите площадь трапеции с основаниями 54 и 18 и боковыми сторонами 21 и 33.

Разность оснований равна \(54-18=36\). Обозначим через \(x\) и \(y\) горизонтальные проекции боковых сторон длиной 21 и 33 соответственно. Тогда \(x+y=36\).

Из прямоугольных треугольников с высотой трапеции \(h\): \(x^2+h^2=21^2\), \(y^2+h^2=33^2\). Вычтем первое равенство из второго:

\(y^2-x^2=33^2-21^2=648\), поэтому \((y-x)(y+x)=648\). Так как \(y+x=36\), получаем \(y-x=18\), откуда \(x=9\).

Найдём высоту: \(h^2=21^2-9^2=360\), значит, \(h=6\sqrt{10}\).

Площадь трапеции: \(S=\frac{54+18}{2}\cdot 6\sqrt{10}=216\sqrt{10}\).

Ответ: \(216\sqrt{10}\).