Задание 1. Найдите производную функций: a) f(x) = x14 - x12 + 3x9 + x3 - 9x2 + 5х при х = 1; б) f(x) = (13x – 8)(8 + 7x); в) f(x) = (x³-3x + 2) / x².

Задание 1. Найдем производные функций:

1. а) Для нахождения производной функции $$f(x) = x^{14} - x^{12} + 3x^9 + x^3 - 9x^2 + 5x$$ используем правило степенной функции $$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$. Позже подставим $$x = 1$$.
   $$f'(x) = 14x^{13} - 12x^{11} + 27x^8 + 3x^2 - 18x + 5$$
   Теперь подставим $$x = 1$$:
   $$f'(1) = 14(1)^{13} - 12(1)^{11} + 27(1)^8 + 3(1)^2 - 18(1) + 5$$
   $$f'(1) = 14 - 12 + 27 + 3 - 18 + 5 = 29$$
2. б) Для нахождения производной функции $$f(x) = (13x – 8)(8 + 7x)$$ используем правило умножения $$(uv)' = u'v + uv'$$.
   Пусть $$u = 13x - 8$$, тогда $$u' = 13$$.
   Пусть $$v = 8 + 7x$$, тогда $$v' = 7$$.
   $$f'(x) = 13(8 + 7x) + (13x - 8)7$$
   $$f'(x) = 104 + 91x + 91x - 56$$
   $$f'(x) = 182x + 48$$
3. в) Для нахождения производной функции $$f(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2}$$ используем правило деления $$ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$.
   Пусть $$u = x^3 - 3x + 2$$, тогда $$u' = 3x^2 - 3$$.
   Пусть $$v = x^2$$, тогда $$v' = 2x$$.
   $$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)x^2 - (x^3 - 3x + 2)(2x)}{(x^2)^2}$$
   $$f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 - (2x^4 - 6x^2 + 4x)}{x^4}$$
   $$f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4 + 6x^2 - 4x}{x^4}$$
   $$f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 - 4x}{x^4}$$
   $$f'(x) = 1 + \frac{3}{x^2} - \frac{4}{x^3}$$