Задание 1. Найдите точки пересечения параболы y = 4x² + x и y = x² + 7x. В ответе укажите наибольшую ординату. (На одной системе координат постройте оба графика и найдите точки их пересечения.)

Приравняем значения функций:

\(4x^2+x=x^2+7x\), поэтому \(3x^2-6x=0\).

Разложим на множители: \(3x(x-2)=0\), откуда \(x=0\) или \(x=2\).

При \(x=0\): \(y=0\). При \(x=2\): \(y=4\cdot 2^2+2=18\). Следовательно, точки пересечения — \((0,0)\) и \((2,18)\); наибольшая ордината равна 18.

Для построения удобно записать функции в вершиной форме: \(y=4(x+\frac18)^2-\frac1{16}\) и \(y=(x+\frac72)^2-\frac{49}{4}\). Первая парабола направлена вверх, её вершина \((-\frac18,-\frac1{16})\); вторая тоже направлена вверх, вершина \((-\frac72,-\frac{49}{4})\). Их графики пересекаются в найденных точках.

Ответ: точки \((0,0)\) и \((2,18)\); наибольшая ордината — 18.