ЗАДАНИЕ №1: Найдите угол \( ACO \), если его сторона \( CA \) касается окружности, \( O \) - центр окружности, сторона \( CO \) пересекает окружность в точках \( B \) и \( D \) (см. рисунок), а дуга \( AD \) окружности, заключённая внутри этого угла, равна 128°. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. **Понимание задачи**: Угол \( ACO \) образован касательной \( CA \) и секущей \( CO \). Дуга \( AD \), заключенная внутри этого угла, равна 128 градусам. 2. **Использование теоремы об угле между касательной и секущей**: Угол, образованный касательной и секущей, равен полуразности угловых величин дуг, заключенных между сторонами этого угла. В данном случае, угол \( ACO \) является внешним углом для дуги \( AD \) и опирается на большую дугу \( ABD \) (которая равна 360 - 128 = 232 градуса). Обозначим угол \( ACO \) как x. Мы можем записать: \[ x = \frac{1}{2} | \overset{\smile}{AD} - \overset{\smile}{AB} | \] Дугу, заключенную внутри угла ACO обозначим как AD, то есть 128 градусам. Большая дуга, как уже говорилось 232 градуса. Теперь мы знаем, что угол между касательной и секущей равен половине разности этих дуг. Но у нас нет информации о хорде AB и дуге, на которую она опирается. Однако, мы знаем, что угол, образованный между касательной и хордой (угол CAO), равен половине дуги, на которую опирается эта хорда (дуга AD). Так как дуга AD равна 128 градусам, то угол \( CAO = \frac{128}{2} = 64 \). Треугольник \( OAC \) является прямоугольным, поскольку касательная \( CA \) перпендикулярна радиусу \( OA \). Следовательно, угол \( OAC = 90 \) градусов. Угол \( AOC \) равен половине центрального угла дуги \( AD \), то есть \( 128 / 2 = 64 \). В треугольнике AOC, сумма углов равна 180 градусов, следовательно: \( \angle CAO + \angle AOC + \angle ACO = 180 \). Мы знаем что угол CAO равен 90 градусов, и \( \angle AOC = \frac{128}{2} = 64 \) градусов. Отсюда можем найти угол ACO. \( 90 + \frac{128}{2} + \angle ACO = 180 \) \( 90 + 64 + \angle ACO = 180 \) \( \angle ACO = 180 - 90 - 64 \) \( \angle ACO = 26 \) 3. **Ответ**: Угол \( ACO \) равен 26 градусам. **Развернутый ответ для ученика:** Чтобы найти угол \( ACO \), мы использовали свойства касательных и хорд окружности. Мы узнали, что угол между касательной и секущей можно найти, зная величины дуг, заключенных внутри этого угла. Сначала мы нашли угол CAO, который является половиной дуги AD. Затем мы использовали свойство, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это дало нам прямой угол. В прямоугольном треугольнике AOC сумма всех углов равна 180. Сделав вычисления мы нашли, что угол \( ACO \) равен 26 градусам.