Задание 1. Решить систему рациональных уравнений: а) \(\begin{cases}\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=2,\\[2pt]\frac{3}{x+y}+\frac{4}{x-y}=7;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}\frac{1}{2x+y}+x=3,\\[2pt]\frac{x}{2x+y}+4=0.\end{cases}\)

а) Область допустимых значений: \(x+y\ne0\), \(x-y\ne0\). Обозначим \(a=\frac1{x+y}\), \(b=\frac1{x-y}\). Тогда получаем систему:

\[\begin{cases}a+b=2,\\3a+4b=7.\end{cases}\]

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3: \(b=1\). Тогда \(a=1\). Значит, \(x+y=1\), \(x-y=1\). Складывая эти равенства, получаем \(2x=2\), откуда \(x=1\), \(y=0\). Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

б) Обозначим \(D=2x+y\), причём \(D\ne0\). Из второго уравнения \(\frac{x}{D}=-4\), а из первого \(\frac1D=3-x\). Так как \(D\ne0\), деление этих равенств даёт \(x=-\frac4{3-x}\). Следовательно, \(x(3-x)=-4\), то есть \(x^2-3x-4=0\). Разложим на множители: \((x-4)(x+1)=0\), поэтому \(x=4\) или \(x=-1\).

При \(x=4\): \(\frac1D=3-4=-1\), значит, \(D=-1\), и из \(2x+y=D\) получаем \(y=-9\).

При \(x=-1\): \(\frac1D=3-(-1)=4\), значит, \(D=\frac14\), и \(y=\frac14-2(-1)=\frac94\). В обоих случаях знаменатель ненулевой; подстановка даёт исходные уравнения.

Ответ: а) \((1;0)\); б) \((4;-9)\), \((-1;\frac94)\).