Задание 3. Решить систему показательных уравнений: а) \(\begin{cases}2x-y=1,\\5^{x+y}=25;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}5^x-3^y=16,\\5^{x/2}-3^{y/2}=2;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}5^{1+x}\cdot3^y=75,\\3^x\cdot5^{y-1}=3.\end{cases}\)

а) Так как \(25=5^2\), из равенства \(5^{x+y}=25\) следует \(x+y=2\). Решаем систему линейных уравнений:

\[\begin{cases}2x-y=1,\\x+y=2.\end{cases}\]

Сложив уравнения, получаем \(3x=3\), то есть \(x=1\), а затем \(y=1\).

б) Положим \(a=5^{x/2}>0\), \(b=3^{y/2}>0\). Тогда система становится \(a^2-b^2=16\), \(a-b=2\). По формуле разности квадратов \((a-b)(a+b)=16\), поэтому \(a+b=8\). Решая систему \(a-b=2\), \(a+b=8\), находим \(a=5\), \(b=3\). Значит, \(5^{x/2}=5\) и \(3^{y/2}=3\), откуда \(x=2\), \(y=2\).

в) Разделим первое уравнение на второе. После сокращения общих множителей получаем \((5/3)^{x-y}=75/15=5\). Но более удобно переписать обе исходные части: первое равносильно \(5^x3^y=15\), второе — \(3^x5^y=15\). Деление этих равенств даёт \((5/3)^{x-y}=1\). Поскольку основание \(5/3\ne1\), имеем \(x=y\). Подстановка в \(5^x3^y=15\) даёт \(15^x=15\), следовательно, \(x=1\), \(y=1\).

Ответ: а) \((1;1)\); б) \((2;2)\); в) \((1;1)\).