Задание №1. Стороны треугольника относятся как 5 : 6 : 7. Найдите периметр этого треугольника, если его площадь равна 150√6.

Пусть стороны равны 5k, 6k и 7k. Тогда полупериметр равен 9k.

По формуле Герона площадь равна \(S=\sqrt{9k(9k-5k)(9k-6k)(9k-7k)}=\sqrt{9k\cdot4k\cdot3k\cdot2k}=6\sqrt{6}\,k^2\).

Приравняем площади: \(6\sqrt{6}\,k^2=150\sqrt{6}\), откуда \(k^2=25\), а так как длины положительны, \(k=5\).

Периметр: \(P=(5+6+7)k=18\cdot5=90\).

Ответ: 90.