Задание №2. Внутри треугольника ABC со сторонами AB = 10, AC = 21, BC = 17 отметили точку M. Оказалось, что расстояние от точки M до стороны AC равно 2, а до стороны BC равно 4. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.

Обозначим искомое расстояние через \(x\). Площадь треугольника найдём по формуле Герона. Полупериметр: \(p=(10+21+17)/2=24\).

\(S_{ABC}=\sqrt{24(24-10)(24-21)(24-17)}=\sqrt{24\cdot14\cdot3\cdot7}=84\).

Разобьём треугольник на три треугольника с вершиной \(M\). Их основания — стороны исходного треугольника, а высоты — расстояния от \(M\) до этих сторон:

\(84=\frac{1}{2}(21\cdot2+17\cdot4+10x)\).

Умножая на 2, получаем \(168=42+68+10x\), откуда \(10x=58\) и \(x=5.8\).

Ответ: 5,8.