Задание 1. Точка M не лежит в плоскости треугольника ABC. Точки K и N — середины отрезков AM и BM. Докажите, что прямая KN параллельна плоскости ABC.

1. В треугольнике AMB точки K и N — середины сторон AM и BM. Поэтому KN — средняя линия треугольника, следовательно, KN ∥ AB.
2. Прямая AB лежит в плоскости ABC, значит, KN параллельна прямой этой плоскости.
3. Точка K не лежит в плоскости ABC: иначе, поскольку A и K принадлежат этой плоскости, в ней лежала бы прямая AK и точка M, что противоречит условию.

Итак, KN не лежит в плоскости ABC и параллельна прямой AB, лежащей в этой плоскости.

Ответ: KN ∥ плоскости ABC.