Задание 1. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(5\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим радиус основания через r. По условию высота цилиндра тоже равна r. Площадь его боковой поверхности: \(S_{ц} = 2\pi rh = 2\pi r^2 = 5\sqrt{2}\).

Образующая конуса l образует прямоугольный треугольник с высотой h = r и радиусом основания r, поэтому \(l = \sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}\).

Тогда площадь боковой поверхности конуса равна \(S_{к} = \pi rl = \pi r^2\sqrt{2}\). Из равенства \(2\pi r^2 = 5\sqrt{2}\) получаем \(\pi r^2 = \frac{5\sqrt{2}}{2}\), поэтому \(S_{к} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2} = 5\).

Ответ: 5.