Задание 2. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(3\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим радиус основания через r. Высота цилиндра равна r, поэтому \(S_{ц} = 2\pi rh = 2\pi r^2 = 3\sqrt{2}\).

Образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами r и r: \(l = \sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}\).

Площадь боковой поверхности конуса: \(S_{к} = \pi rl = \pi r^2\sqrt{2}\). Из \(2\pi r^2 = 3\sqrt{2}\) следует \(\pi r^2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}\). Значит, \(S_{к} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2} = 3\).

Ответ: 3.