Задание 1. Упростите выражение \(\dfrac{\sqrt[4]{x\cdot\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}\).

Область допустимых значений: \(x\ne0\), так как знаменатель не должен быть равен нулю.

Преобразуем корни в степени:

\[\frac{\sqrt[4]{x\cdot\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}=\frac{\sqrt[4]{x\cdot x^{1/3}}}{x^{1/3}}=\frac{\sqrt[4]{x^{4/3}}}{x^{1/3}}.\]

Так как \(\sqrt[4]{x^{4/3}}=|x|^{1/3}\), получаем:

\[\frac{|x|^{1/3}}{x^{1/3}}=\frac{|x|}{x}.\]

Следовательно, при \(x>0\) выражение равно \(1\), а при \(x<0\) — \(-1\).

Ответ: \(\dfrac{|x|}{x}\) (или \(1\) при условии \(x>0\)).